Коническое сечение - это кривая, полученная, когда плоскость пересекает конус под определенным углом. Есть три типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола.
Эллипс - это плоская кривая, имеющая две точки фокусировки и чем-то напоминающая круг. Однако парабола и гипербола сбивают с толку.
Парабола против гиперболы
Разница между параболой и гиперболой состоит в том, что парабола представляет собой единую открытую кривую с эксцентриситетом один, тогда как гипербола имеет две кривые с эксцентриситетом больше единицы.
Парабола - это единственная открытая кривая, продолжающаяся до бесконечности. Он имеет U-образную форму и имеет один фокус и одну направляющую.
Гипербола - это открытая кривая, имеющая две несвязанные ветви. Он имеет два фокуса и две директрисы, по одной на каждое отделение.
Таблица сравнения параболы и гиперболы (в табличной форме)
| Параметр сравнения | Парабола | Гипербола |
|---|---|---|
| Определение | Парабола - это геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы. | Гипербола - это геометрическое место точек, которые имеют постоянное отличие от двух фокусов. |
| Форма | Парабола - это открытая кривая с одним фокусом и одной направляющей. | Гипербола - это открытая кривая с двумя ветвями, имеющая два фокуса и две направляющие. |
| Эксцентриситет | Неотрицательный эксцентриситет параболы равен единице. | Неотрицательный эксцентриситет гиперболы e больше единицы. |
| Пересечение плоскости | Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) наклонной высоте конуса. | Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) высоте перпендикуляра двойного конуса. |
| Общее уравнение | Общее уравнение параболы: y = ax², a ≠ 0 | Общее уравнение гиперболы: x² / a² - y² / b² = 1. |
Что такое парабола?
Парабола - это геометрическое место всех точек, равноудаленных от точки и линии. Эта точка называется фокусом, а эта линия - направляющей.
Парабола образуется, когда плоскость пересекает конус в направлении, параллельном (идеальный случай) его наклонной высоте.
Общее уравнение параболы имеет вид
y = ax², a ≠ 0
Значение a определяет форму кривой.
Если a> 0, устье параболы открывается вверх.
Если a <0, устье параболы открывается вниз.
Фокус приведенной выше параболы равен (0, 1 / 4a). Директриса (-1 / 4a).
Однако, когда a = 1, парабола называется единичной параболой.
Парабола имеет эксцентриситет, равный единице.
Парабола симметрична относительно своей оси. На бесконечном расстоянии кривые выглядят как параллельные линии.
Что такое гипербола?
Гипербола - это геометрическое место всех точек, которые имеют постоянное отличие от двух различных точек. Эти точки называются фокусами гиперболы.
Гипербола образуется, когда твердая плоскость пересекает конус в направлении, параллельном его перпендикулярной высоте.
Общее уравнение гиперболы имеет вид
(x-α) ² / a² - (y-β) ² / b² = 1
Фокусы вышеупомянутой гиперболы: (α ± sqrt (a² + b²), β).
Вершины - это (± a, β).
У гиперболы эксцентриситет больше единицы.
Гипербола имеет две оси симметрии. Это поперечная ось и сопряженная ось.
Основные различия между параболой и гиперболой
Парабола и гипербола - это конические сечения. У них разные формы и свойства.
Основные различия между ними:
Вывод
Конические сечения состоят из эллипсов, параболы и гиперболы. Их называют коническими сечениями, потому что они образуются пересечением конуса с плоскостью. Параболы представляют собой единую бесконечную кривую. Это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Гиперболы - это кривые с двумя ветвями. Они представляют собой геометрическое место точек, которые имеют постоянную разницу в расстоянии от двух фокусов. Разница в их неординарности. Параболы имеют эксцентриситет, равный единице, в то время как гиперболы имеют эксцентриситет больше единицы.
В реальной жизни параболы находят самое разнообразное применение. Они используются в архитектуре, машиностроении, проектировании космических аппаратов, отражателях и голографических пленках. Гиперболы популярны в радиотехнике, проектировании спутников, линзах, компьютерах и солнечных часах. Фактически наша Вселенная имеет форму гиперболы.
