Все вы наверняка ходили в кинотеатры, чтобы смотреть фильмы с друзьями или членами семьи. При бронировании билетов вы когда-нибудь замечали, как обычно организована рассадка в кинотеатре? Количество мест в предыдущем ряду всегда будет меньше, чем в следующем ряду на определенное число.
Такое расположение сидений обычно выполняется в арифметической последовательности. Таким образом, можно сказать, что последовательность, которая увеличивается или уменьшается на постоянное число, известна как арифметическая последовательность. С другой стороны, геометрическая последовательность - это совсем другое. Большинство из вас играли в какие-то мячи в детстве.
Независимо от того, используете ли вы футбольный мяч или баскетбольный мяч, вы заметите, что высота, на которой он отскакивает, имеет тенденцию уменьшаться каждый раз, когда он ударяется о землю. Это уменьшение высоты подпрыгивания происходит в геометрической последовательности.
Таким образом, можно сказать, что геометрическая последовательность - это в основном последовательность, в которой каждый член умножается или делится на одно и то же значение от одного конкретного члена к следующему. Значение, на которое член делится или умножается, называется общим соотношением.
Арифметика против геометрической последовательности
В разница между арифметической и геометрической последовательностью заключается в том, что в то время как арифметическая последовательность имеет разность между двумя последовательными членами, остается постоянной, в геометрической последовательности соотношение между двумя последовательными членами остается постоянным.
Разница между двумя последовательными членами в арифметической последовательности называется общей разницей. С другой стороны, отношение двух последовательных членов геометрической последовательности называется общим отношением.
Таблица сравнения арифметической и геометрической последовательности
| Параметр сравнения | Арифметическая последовательность | Геометрическая последовательность |
|---|---|---|
| Определение | Это список чисел, в котором каждый новый член отличается от другого предыдущего члена на определенную величину. | Это последовательность чисел, в которой каждый новый член вычисляется путем умножения на ненулевое и фиксированное число. |
| Рассчитано | Сложение или вычитание | Умножение или деление |
| Идентифицировано | Постоянная разница между двумя последовательными терминами. | Обычное соотношение между двумя последовательными терминами. |
| Форма | Линейная форма | Экспоненциальная форма |
Что такое арифметическая последовательность?
Когда вы говорите об арифметической последовательности или арифметической прогрессии, это в основном относится к последовательности разных чисел, в которой разница между двумя последовательными числами всегда постоянна.
В этом типе последовательности разница означает вычитание первого члена из второго. Если вы рассматриваете такую последовательность, как 1, 4, 7, 10, 13… это арифметическая последовательность, в которой постоянная разность равна 3.
Как и все остальное в математике, арифметическая последовательность также имеет формулу. Формула, используемая для нахождения арифметической последовательности: a, a + d, a + 2d, a + 3d и так далее. В этой формуле «a» - это первый член, а «d» - это общая разница между двумя последовательными терминами.
Для вас важно знать, что поведение арифметической последовательности во многом зависит от общей разницы. Если общая разница или «d» в формуле положительны, то члены будут расти в положительную сторону. Однако, если общая разница отрицательная, сроки будут расти в отрицательную сторону.
Что такое геометрическая последовательность?
Геометрическая последовательность или геометрическая прогрессия в математике представляет собой последовательность различных чисел, в которой каждый новый член после предыдущего вычисляется путем простого умножения предыдущего члена на общий коэффициент. Это обычное отношение является фиксированным и ненулевым числом. Например, последовательность 3, 6, 12, 24 и т. Д. Представляет собой геометрическую последовательность с общим отношением 2.
Геометрическая последовательность также имеет собственную формулу. Нормальная форма геометрической последовательности имеет вид a, ar, ar², ar³, ar4 и так далее.
Когда вам нужно найти n-й член в какой-либо геометрической последовательности, используйте формулу = arп-1, где будет дано обычное отношение «r» и начальное значение «a». Когда дело доходит до геометрической последовательности, вам следует помнить об определенных факторах. Если обыкновенное отношение положительное, условия также будут положительными.
Однако, если обычное отношение отрицательное, термины будут чередоваться между отрицательными и положительными. Если общее отношение больше 1, рост будет в экспоненциальной форме в сторону положительной или даже отрицательной бесконечности. Если обычное отношение равно 1, то прогрессия будет постоянной.
Основные различия между арифметической и геометрической последовательностью
Часто задаваемые вопросы (FAQ) об арифметических и геометрических последовательностях
Почему это называется геометрической последовательностью?
Это называется геометрической последовательностью, потому что числа переходят от одного числа к другому путем ныряния или умножения на аналогичное значение.
Число, деленное или умноженное на каждом этапе ряда, называется обычным отношением. Геометрическая серия - это набор фигур, которые подчиняются уникальному правилу узора.
Может ли арифметическая последовательность быть геометрической?
В математике арифметический ряд определяется как последовательность, в которой разница между последовательными числами, называемая общей разницей, является постоянной.
С другой стороны, геометрический ряд - это постоянное соотношение между последовательными числами, известное как общее отношение. Итак, это означает, что последовательность не может быть одновременно геометрической и арифметической.
Что такое формула бесконечного геометрического ряда?
Бесконечная геометрическая последовательность определяется как совокупность бесконечной геометрической последовательности. В последовательности нет последней цифры. К этому типу бесконечной последовательности относятся a1 + a1r + a1r2 + a1r3 +…. В этом случае a1 относится к первой цифре, а r относится к общему отношению.
Вы рассчитаете общую сумму конечной геометрической последовательности. В случае бесконечной геометрической последовательности, как только обычное отношение станет больше единицы, члены в серии будут увеличиваться, и когда вы добавите большие числа, получить окончательный ответ будет невозможно. Единственный ответ - бесконечность.
Допустим, r (обычное отношение) находится между -1 и 1 /. Вы можете получить сумму бесконечной геометрической последовательности. То есть сумма существует при r <1.
Сумма бесконечного геометрического ряда, у которого -1 <r <1, вычисляется по формуле: S = a1 / 1-r
Что такое А в арифметической последовательности?
Арифметическая последовательность относится к ряду терминов, так что разница между двумя последовательными участниками ряда является постоянным членом, при этом a в арифметической последовательности является первым членом.
Как найти n-й член арифметической последовательности?
Известно, что члены арифметического ряда увеличиваются на общую разность (d). Например, 2, 4, 6, 8, 10 - это арифметическая прогрессия и d = 2.
Формула для получения n-го члена этой арифметической последовательности: 2n + 1. Обычно n-й член арифметической последовательности с 1-м членом и общей разницей равен a + (n-1) d.
Вывод
С помощью этого подробного обсуждения различий между арифметической последовательностью и геометрической последовательностью вы уже должны это понять. Если вы думаете, что эти две последовательности не имеют реального применения, подумайте еще раз. Оба имеют свое индивидуальное применение и важность в разных повседневных жизнях.
Арифметические последовательности используются в различных финансовых секторах и могут оказаться весьма полезными, когда дело доходит до расчета ваших сбережений и личных финансовых приращений. Однако геометрическая последовательность также имеет свою долю использования. Он используется для расчета процентных ставок, предоставляемых различными финансовыми учреждениями, а также для расчета прироста населения страны.
Часто можно увидеть, что студенты не понимают, является ли данная последовательность арифметической или геометрической. Хотя вычислить арифметическую последовательность довольно просто, основная проблема заключается в вычислении геометрической последовательности.
