Векторная алгебра - неотъемлемая часть физико-математических наук. Это упрощает вычисления и помогает в анализе самых разных пространственных концепций. Вектор - это физическая величина, которая имеет как величину, так и направление. Его двойник - скалярная величина, которая имеет только величину, но не имеет направления.
Вектором можно управлять с помощью двух основных операций. Эти операции представляют собой скалярное произведение и перекрестное произведение, и они сильно различаются.
Точечный продукт против перекрестного продукта
Разница между скалярным произведением и перекрестным произведением двух векторов состоит в том, что результат скалярного произведения является скалярной величиной, тогда как результат перекрестного произведения - векторной величиной.
Скалярное произведение двух векторов также называется скалярным произведением. Это произведение величины двух векторов и косинуса угла, который они образуют друг с другом.
Перекрестное произведение двух векторов также называется векторным произведением. Это произведение величины двух векторов и синуса угла, который они образуют друг с другом.
Таблица сравнения скалярного произведения и перекрестного произведения (в табличной форме)
| Параметр сравнения | Скалярное произведение | Перекрестный продукт |
|---|---|---|
| Общее определение | Скалярное произведение - это произведение величины векторов на cos угла между ними. | Перекрестное произведение - это произведение величины векторов и синуса угла, который они прилегают друг к другу. |
| Математическая связь | Скалярное произведение двух векторов A и B представлено как:.Β = ΑΒ cos θ | Перекрестное произведение двух векторов A и B представляется как: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Результирующий | Результат скалярного произведения векторов - скалярная величина. | Результат перекрестного произведения векторов является векторной величиной. |
| Ортогональность векторов | Скалярное произведение равно нулю, когда векторы ортогональны (θ = 90 °). | Перекрестное произведение является максимальным, когда векторы ортогональны (θ = 90 °). |
| Коммутативность | Скалярное произведение двух векторов подчиняется закону коммутативности: A. B = B. A | Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону коммутативности: A × B ≠ B × A |
Что такое точечный продукт?
Скалярное произведение или скалярное произведение двух векторов - это произведение их величин и косинуса угла, образованного одним вектором над другим. Его также называют внутренним продуктом или проекционным продуктом.
Он представлен как:
A · Β = | A | | B | cos θ
В результате получается скалярная величина, поэтому она имеет только величину, но не направление.
Мы берем косинус угла для вычисления скалярного произведения, чтобы векторы были выровнены в одном направлении. Таким образом, мы получаем проекцию одного вектора на другой.
Для векторов с n размерностями скалярное произведение определяется как:
A · Β = Σ α¡b¡
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
Α · Ь = Ь · α
Α · (b + c) = α · b + α · c
(λα) · (μb) = λμ (α · b)
Скалярное произведение имеет следующие применения:
Он используется для определения проекции точки на плоскость, когда известны ее координаты.
Что такое перекрестный продукт?
Перекрестное произведение или векторное произведение двух векторов - это произведение их величин и синуса угла между ними. Его также называют произведением направленной площади.
Он представлен как:
A × Β = | A | | B | грех θ
Результат - другая векторная величина. Результирующий вектор перпендикулярен обоим векторам. Его направление можно определить с помощью правила правой руки.
При вычислении перекрестного произведения следует помнить о следующих правилах:
Где I, j и k - единичные векторы в направлениях x, y и z соответственно.
Перекрестное произведение обладает следующими свойствами:
а × Ь = - (Ь × α)
а × (Ь + с) = α × Ь + α × с
(λα) × (b) = λ (α × b)
Перекрестное произведение имеет следующие приложения:
Основные различия между скалярным произведением и перекрестным произведением
Скалярное произведение и перекрестное произведение позволяют проводить вычисления в векторной алгебре. У них разные приложения и разные математические отношения.
Вывод
Векторная алгебра очень полезна в различных математических дисциплинах. Его использование очень распространено в геометрии и электромагнетизме. Скалярное произведение и векторное произведение векторов являются основными операциями в векторной алгебре. У них есть несколько приложений. Скалярное произведение вычисляет скалярную величину. Обычно это расстояние или длина.
Перекрестное произведение вычисляет векторную величину. Итак, мы получаем еще один вектор в космосе. Мы можем выполнять такие операции, как сложение, вычитание и умножение векторов. Смещение, скорость и ускорение - общие векторы в физике.
Концепция вектора возникла более 200 лет назад. С тех пор он процветал благодаря вкладу многих математиков и ученых.
